Pozivi milenijski problemi Postoji sedam matematičkih problema koje postavlja Matematički institut Clay 2000. godine, kao izazov matematičkoj zajednici. Obećana nagrada je milijun dolara za svaki od ovih problema ako se riješe. Međutim, do danas je prikazan samo jedan od njih. Ovi se problemi smatraju jednima od najsloženijih u trenutnoj matematici, a njihovo rješavanje moglo bi predstavljati značajan napredak ne samo u matematici, već iu srodnim područjima kao što su fizika, računalna znanost i kriptografija.
Koji su tisućljetni problemi?
The milenijski problemi Oni su niz pretpostavki ili matematičkih izjava za koje je potvrđeno da su u skladu s poznatim dokazima, ali rješenje još nije pronađeno. rigorozan matematički dokaz koji ih potvrđuje. Rješavanje jednog od ovih problema ne uključuje samo dubinsko razumijevanje izjave, već i demonstriranje njezine istinitosti na čvrstoj matematičkoj osnovi. O tome svjedoči činjenica da je do sada riješen samo jedan od ovih problema teškoća od njih.
El Matematički institut Clay postavio je te probleme kako bi promicao napredak matematičkog znanja. Ako se problem riješi, Institut nudi ne samo prestiž rješenja nekih od najsloženijih pitanja u modernoj matematici, već i nagradu od milijun dolara. Ukupno je prvobitno predloženo sedam izazova, od kojih je dosad samo jedan riješen. U nastavku ćemo vidjeti od čega se ti problemi sastoje.
Poincaréova nagađanja
La Poincaréova nagađanja To je jedini milenijski problem koji je do danas riješen. Predložio ga je francuski matematičar Henri Poincaré 1904. godine i postavio hipotezu u području topologija, vezano uz karakterizaciju trodimenzionalne sfere. Pretpostavka kaže da bilo koji trodimenzionalni mnogoznačnik koji je jednostavno povezan mora biti homeomorfan trodimenzionalnoj sferi.
Nagađanje je konačno razriješio ruski matematičar Grigorij Perelman 2002. godine, koji je svoj dokaz objavio na nekonvencionalan način: objavio ga je na internetu umjesto da ga preda znanstvenom časopisu. Iako je u početku postojao skepticizam o njegovom pristupu, njegov su rad potvrdili drugi matematičari i 2006. godine dobio je Fieldsova medalja. Međutim, Perelman je odbio i nagradu i milijun dolara koje je ponudio Institut Clay.
P naspram NP
Jedan od najpoznatijih problema teorija računanja Zove se P naspram NP. Ova matematička zagonetka postavlja pitanje mogu li se svi problemi koji se mogu brzo provjeriti također brzo riješiti. Formalnije rečeno, problem je definirati je li P (skup problema koji se mogu riješiti u polinomijalnom vremenu) jednak NP (skup problema čiji se rezultati mogu provjeriti u polinomijalnom vremenu).
Rješavanje ovog problema imalo bi revolucionarne implikacije na nekoliko polja, uključujući kriptografijaje umjetna inteligencija i optimizacija. Kad bi P bio jednak NP, mnogi zadaci koji su današnjim računalima iznimno komplicirani, poput dešifriranja lozinki, kriptografija ili rješavanje kompliciranih problema optimizacije, može se obaviti u mnogo kraćem vremenu.
Hodgeova pretpostavka
La Hodgeova pretpostavka nastaje u polju algebarska geometrija i algebarska topologija. Općenito, navodi se da za kompleksnu projektivnu algebarsku varijantu određeni ciklusi koji se pojavljuju u de Rhamovoj kohomologiji imaju korespondenciju s algebarske klase podvrsta. Ti bi algebarski ciklusi bili racionalne linearne kombinacije algebarskih podraznolikosti.
Jedan od najvećih izazova za ovu pretpostavku jest to što se radi o području koje uključuje obje discipline, a alati potrebni za njezino rješavanje možda ne pripadaju isključivo algebarsko polje o diferencijal, ali zahtijevaju puno transverzalnije i složenije tehnike.
Riemannova hipoteza
Postavio 1859. njemački matematičar Bernhard Riemann, ova hipoteza jedan je od najstarijih i najzagonetnijih matematičkih problema. The Riemannova hipoteza odnosi se na distribuciju primarni brojevi i navodi da sve netrivijalne nule Riemannove zeta funkcije imaju vrijednost 1/2 kao svoj realni dio.
Riemannova zeta funkcija ima vrlo blizak odnos s prostim brojevima, a kad bi se ova hipoteza dokazala, dublje razumijevanje distribucija prostih brojeva. Mnogi matematičari vjeruju da je hipoteza točna, a izračunati su bilijuni nula koje odgovaraju pretpostavci, ali do sada nije postignut potpuni dokaz.
Postojanje Yang-Millsa i masovni skok
La Yang-Millsova teorija To je ključni dio fizike čestica i kvantne teorije polja. Izvorno je strukturiran da modelira elektromagnetsko polje a kasnije je primijenjen na kvantnu kromodinamiku, koja opisuje interakcije između kvarkova i gluona u atomskoj jezgri. Matematički problem leži u demonstriranju postojanja i rigorozne valjanosti Yang-Millsovih jednadžbi i razumijevanju kako se jednadžba generira. maseni jaz.
Fenomen jaza mase odnosi se na to zašto čestice bez mase poput gluona u svom klasičnom obliku poprimaju konačnu masu u kvantnoj teoriji. Iako su do sada provedene simulacije na superračunalima koje podupiru pretpostavku, rigorozan matematički dokaz ostaje nedostižan.
Navier-Stokesove jednadžbe
Las Navier-Stokesove jednadžbe su skup jednadžbi koje opisuju kretanje tekućine kao što su tekućine i plinovi. Formulirane u 19. stoljeću, ove jednadžbe temeljne su za razumijevanje dinamike fluida, od protoka zraka koji utječu na zrakoplove do vremenskih obrazaca i oceanskih struja. Međutim, složenost ovih jednadžbi nije omogućio matematičarima da u potpunosti razumiju određena ponašanja, kao što je stvaranje turbulencije ili prijelaz iz laminarnih tokova u turbulentne tokove.
Matematički izazov sastoji se od demonstracije, pod određenim početnim uvjetima, može li se glatko rješenje (to jest, bez singulariteta) Navier-Stokesovih jednadžbi održati tijekom vremena ili ako se, naprotiv, pojave singulariteti koji utječu na njegov kontinuitet.
Birch i Swinnerton-Dyer-ova pretpostavka
ovo pogoditi, koji su predložili engleski matematičari Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer šezdesetih godina bavi se racionalnim rješenjima za eliptične krivulje. Eliptične krivulje su algebarski objekti koji se, u svojoj najjednostavnijoj verziji, mogu vizualizirati kao linije u ravnini, a teorija brojeva povezuje niz aritmetičkih svojstava s ovim krivuljama.
Pretpostavka sugerira da postoji način da se utvrdi ima li eliptična krivulja konačan ili beskonačan broj racionalnih rješenja, na temelju određenih svojstava njezine L funkcija. Rješavanje ovog problema uključivalo bi ključni napredak u područjima kao što je kriptografija, jer su eliptične krivulje temeljne u mnogim modernim sustavima šifriranja.
Rješavanje bilo kojeg od ovih problema bilo bi postignuće bez presedana i transformiralo bi matematiku, kao i ponudilo bogate financijske nagrade i vječne akademske zasluge.