La rastavljanje algebarskog izraza na faktore To je postupak kojim se navedeni izraz zapisuje kao množenje jednostavnijih faktora. Drugim riječima, kod rastavljanja polinoma na faktore, cilj je pronaći pojmove koji, kada se množe, rezultiraju istim algebarskim izrazom podrijetla.
Ovaj je proces od iznimne važnosti u algebri, budući da omogućuje pojednostavljenje jednadžbi i njihovo lakše rukovanje. Nadalje, jedan od najvažnijih ciljeva pri rastavljanju polinoma na faktore je prikazati ga kao produkt ostalih polinoma nižeg stupnja.
Da bismo bolje razumjeli koncept, razmotrimo osnovni primjer:
Algebarski izraz: x(x + y)
Množenjem članova ovog izraza dobivamo:
x2 +xy
Na ovaj način: x(x + y) = x2 +xy
La faktoring Korisno je ne samo zato što pojednostavljuje rješavanje problema, već zato što vam omogućuje da identificirate svojstva i odnose između članova algebarskog izraza.
Zajednički čimbenik
Prije nego počnemo s tehnikama faktorizacije, bitno je razumjeti što taj pojam znači. zajednički faktor. Traženjem zajedničkog faktora unutar polinoma, cilj nam je identificirati izraz koji se ponavlja u svim članovima izraza, što nam omogućuje da ga pojednostavimo.
Međutim, važno je napomenuti da faktoring nije uvijek moguć. Kako bismo faktorizirali, mora postojati barem jedan zajednički pojam za rad. Inače se ne može dalje pojednostavljivati.
Na primjer, u izrazu:
xa + yb + zc
Nema ih zajednički faktor između članova, pa se faktorizacija ne može provesti.
Pogledajmo još jedan slučaj gdje je to izvedivo:
a2x + a2y
Zajednički faktor ovdje je a2. Radi jednostavnosti, oba pojma dijelimo ovim zajedničkim faktorom:
- a2x podijeljen je s a2, što daje x
- a2y podijeljen je s a2, što daje i
Konačno, faktorirani izraz je:
a2(x+y)
Korištenje zajedničkog faktora u faktoriziranju polinoma
U mnogim slučajevima, neki članovi polinoma će imati a zajednički faktor, dok drugi ne. U ovim scenarijima, ono što treba učiniti je a grupiranje pojmova, tako da grupirani pojmovi dijele zajednički faktor.
Na primjer, u izrazu:
xa + ya + xb + yb
Pojmove možemo grupirati na različite načine:
(xa + ya) + (xb + yb)
Ako analiziramo grupirane termine, možemo uočiti zajednički faktor u svakoj grupi:
a(x + y) + b(x + y)
Konačno, izraz možemo faktorizirati na sljedeći način:
(x + y)(a + b)
Ova tehnika se zove "grupiranje na faktore" i omogućuje vam da pojednostavite polinome čak i kada nemaju svi pojmovi isti zajednički faktor. Treba napomenuti da postoji više od jednog načina grupiranja, a rezultat će uvijek biti isti. Na primjer, u ovom istom slučaju, pojmove smo mogli grupirati na sljedeći način:
(xa + xb) + (ya + yb)
Što opet dovodi do:
x(a + b) + y(a + b)
Na kraju dobivamo isti rezultat:
(a + b)(x + y)
Ovaj proces podupire komutativni zakon, koji kaže da redoslijed faktora ne mijenja konačni proizvod.
Napredne metode: faktoring korištenjem poznatih proizvoda
Postoje i druge metode faktoriranja polinoma, među kojima je izvanrednih proizvoda. Najčešći poznati proizvodi su trinom savršenog kvadrata i trinom oblika x2 + b x + c. Postoje i drugi značajni proizvodi, ali oni se više primjenjuju na binome.
Savršeni kvadratni trinom
Un trinom savršenog kvadrata To je polinom sastavljen od tri člana, koji je rezultat kvadriranja binoma. Pravilo kaže da proces slijedi ovu strukturu: kvadrat prvog člana, plus dva puta prvi član puta drugi član, plus kvadrat drugog člana.
Da bismo faktorirali trinom savršenog kvadrata, slijedimo ove korake:
- Izvlačimo kvadratni korijen prvog i trećeg člana.
- Korijene odvajamo znakom koji odgovara drugom članu.
- Kvadriramo dobiveni binom.
Pogledajmo primjer:
4a2 – 12ab + 9b2
- kvadratni korijen iz 4a2: 2a
- kvadratni korijen iz 9b2: 3b
Trinom je faktoriziran kao:
(2a – 3b)2
Trinom člana x2 + b x + c
Ova vrsta trinoma ima specifične karakteristike koje mu omogućuju lakše rastavljanje na faktore. Da bi se trinom ovog oblika mogao faktorizirati, mora zadovoljiti sljedeće kriterije:
- Koeficijent prvog člana mora biti 1.
- Prvi član mora biti kvadrat varijable.
- Drugi član ima istu varijablu, ali nije na kvadrat (ima eksponent 1).
- Koeficijent drugog člana može biti pozitivan ili negativan.
- Treći član je broj koji nije izravno povezan s prethodnima.
Primjer ove faktorizacije bio bi sljedeći trinom:
x2 +9x +14
Da biste to faktorizirali, slijedite ovaj postupak:
- Trinom rastavljamo na dva binoma.
- Prvi član svakog binoma je kvadratni korijen prvog člana trinoma (u ovom slučaju, "x").
- Predznaci binoma se dodjeljuju prema drugoj i trećoj količini trinoma (u ovom slučaju pozitivni).
- Tražimo dva broja koji pomnoženi daju 14, a zbrojeni daju 9 (opcije su 7 i 2).
Na ovaj način faktorizirani trinom je:
(x+7)(x+2)
Dodatne metode: Faktorski teorem i Ruffinijevo pravilo
El faktorski teorem kaže da je polinom djeljiv s polinomom oblika (x – a) ako je, procjenjujući izvorni polinom za x = a, rezultat 0. Ovaj je teorem koristan za pronalaženje korijena polinoma i olakšava rastavljanje na faktore. Često se koristi u kombinaciji s Ruffinijevo pravilo, pojednostavljena metoda za izvođenje polinomskih dijeljenja.
Ovi su alati osobito korisni pri radu s polinomima stupnja 3 ili višeg, gdje nije moguće primijeniti jednostavne metode poput trinoma savršenog kvadrata ili značajnih proizvoda.
Na kraju, važno je napomenuti da se svi polinomi ne mogu jednostavno rastaviti na faktore. U nekim slučajevima potrebno je pribjeći naprednijim metodama ili numeričkim tehnikama za pronalaženje korijena polinoma. Međutim, većina primjera iz osnovne algebre može se riješiti pomoću ovih alata.
Faktoring je moćan alat u algebri jer vam omogućuje pojednostavljenje složenih izraza i učinkovitije rješavanje jednadžbi. Ovladavanjem različitim metodama rastavljanja polinoma na faktore, možemo primijeniti brža i učinkovitija rješenja za veliki broj problema.